二项展开式

二项展开式是依据二项式定理对（a+b）^n进行展开得到的式子，由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出。在二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等。如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项的二项式系数最大，幂指数是奇数，中间两项的的二项式系数最大，并且相等。等式的右边即为的展开式，称为二项展开式。

二项展开式的通项公式为：

\[ T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r \]

其中，\（ C_n^r \） 表示从 \（ n \） 个不同元素中取出 \（ r \） 个元素的组合数，也就是二项式系数。

具体展开时，二项展开式共有 \（ n+1 \） 项，各项的系数依次为 \（ C_n^0, C_n^1, C_n^2, \ldots, C_n^n \）。

例如，对于 \（ （x + y）^3 \） 的二项展开式为：

\[ （x + y）^3 = C_3^0 x^3 y^0 + C_3^1 x^2 y^1 + C_3^2 x^1 y^2 + C_3^3 x^0 y^3 \]

\[ = 1 \cdot x^3 + 3 \cdot x^2 y + 3 \cdot x y^2 + 1 \cdot y^3 \]

\[ = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \]

这个展开式中，各项的系数分别是 \（ C_3^0 = 1 \）, \（ C_3^1 = 3 \）, \（ C_3^2 = 3 \）, \（ C_3^3 = 1 \），可以看出中间两项 \（ 3x^2y \） 和 \（ 3xy^2 \） 的二项式系数相等且最大。