正切函数的图像可以通过以下步骤来观察和理解：
定义域和值域
正切函数的定义域是所有实数除了形如 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$ 为整数）的点，因为这些点是正切函数的不连续点。
值域是所有实数，即 $R$。
周期性和奇偶性
正切函数是周期函数，其最小正周期为 $\pi$。
正切函数是奇函数，图像关于原点对称。
单调性
在每个开区间 $（k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2}）$ 内，正切函数是单调递增的，其中 $k$ 为整数。
渐近线
正切函数有两条水平渐近线，分别是 $y = \frac{1}{k}$ 和 $y = -\frac{1}{k}$，其中 $k$ 为整数。
对称中心
正切函数的图像关于点 $（\frac{k\pi}{2}, 0）$ 对称，其中 $k$ 为整数。
图像绘制
在单位圆上，以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径，绘制一个圆。圆上任意一点 $（x, y）$ 对应的半径与x轴形成的角度为 $\alpha$，则 $\tan（\alpha） = \frac{y}{x}$。
在第一象限，当 $\alpha$ 从0增加到 $\frac{\pi}{2}$ 时，$y$ 值逐渐增大，从0增加到1，$x$ 值逐渐减小从1逐渐减小到0。$\tan（\alpha） = \frac{y}{x}$ 的值从0逐渐增大，至无穷大。
由于正切函数的周期性，可以将图像向左、右扩展，从而得到整个正切函数的图像。
通过以上步骤，可以得出正切函数的图像是由通过点且与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成，具有周期性、奇偶性和单调性，并且有两条水平渐近线。