泰勒公式是一种用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，通过函数在该点的各阶导数值构建一个多项式来近似表达这个函数。以下是一些常用的泰勒公式展开式：
e^x的展开式：
\[
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots
\]
ln（1+x）的展开式（在 |x| < 1 内有效）：
\[
\ln（1+x） = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + （-1）^{k-1} \frac{x^k}{k} + \cdots
\]
sin x的展开式：
\[
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + （-1）^{k-1} \frac{x^{2k-1}}{（2k-1）!} + \cdots
\]
cos x的展开式：
\[
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + （-1）^k \frac{x^{2k}}{（2k）!} + \cdots
\]
arcsin x的展开式（在 |x| < 1 内有效）：
\[
\arcsin x = x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots + \frac{（2k+1）!!}{2k!!} \cdot \frac{x^{2k+1}}{2k+1} + \cdots
\]
arccos x的展开式（在 |x| < 1 内有效）：
\[
\arccos x = \frac{\pi}{2} - \left（ x + \frac{x^3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots + \frac{（2k+1）!!}{2k!!} \cdot \frac{x^{2k+1}}{2k+1} + \cdots \right）
\]
arctan x的展开式（在 |x| < 1 内有效）：
\[
\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + （-1）^{k-1} \frac{x^{2k-1}}{2k-1} + \cdots
\]
sinh x的展开式：
\[
\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + \frac{x^{2k-1}}{（2k-1）!} + \cdots
\]
cosh x的展开式：
\[
\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + \frac{x^{2k}}{（2k）!} + \cdots
\]
arcsinh x的展开式（在 |x| < 1 内有效）：
\[
\arcsinh x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{10} - \cdots + （-1）^{k-1} \frac{x^{2k-1}}{2k-1} + \cdots
\]
arctanh x的展开式（在 |x| < 1 内有效）：
\[
\arctanh x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots + \frac{x^{2k+1}}{2k+1} + \cdots
\]
这些公式在各自的适用范围内非常有用，特别是在近似计算和解析几何中。建议在实际应用中根据具体需求选择合适的展开式，并注意余项的处理。