伯努利微分方程是一个描述流体在理想条件下（不可压缩、无粘性流体）沿一条流线的能量守恒的重要方程。其基本形式为：
\[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{常数} \]
其中：
\（ P \） 是流体的静压力（Pa）
\（ \rho \） 是流体的密度（kg/m³）
\（ v \） 是流体的速度（m/s）
\（ g \） 是重力加速度（约为 9.81 m/s²）
\（ h \） 是流体的高度（m）
这个方程可以用来分析流体的流动特性，包括速度、压力和高度之间的关系。伯努利方程表明，在封闭管道中，流体的压力、动能和重力势能之和是一个常数。
解法
伯努利方程可以通过适当的变量替换化为线性微分方程。一种常见的解法是使用变量代换 \（ z = y^{1-n} \），其中 \（ n
eq 0, 1 \）。通过这种代换，原方程可以转换为：
\[ z' + （1-n）P（x）z = （1-n）Q（x） \]
这是一个一阶线性非齐次微分方程，可以使用一阶线性微分方程的解法来求解。
应用
伯努利微分方程在流体动力学中有广泛的应用，例如在分析管道流动、喷射器、涡轮机、飞机机翼等流体系统的性能时，可以使用伯努利方程来预测流体的压力、速度和高度的变化。此外，伯努利方程还可以用于研究流体在重力场中的能量守恒问题。
总结
伯努利微分方程是流体力学中的一个基本方程，用于描述理想流体在不可压缩条件下的能量守恒。通过适当的变量替换，可以将伯努利方程转化为线性微分方程，从而简化求解过程。它在工程学和物理学中有着广泛的应用，是理解和分析流体流动特性的重要工具。