“不胜其烦”和“不厌其烦”这两个成语的意思 截然不同，具体区别如下：
不胜其烦
意思：表示烦琐得让人受不了，强调的是对繁琐事物的厌烦和无法忍受的情绪。
用法：通常用于形容某件事情非常繁琐，让人感到烦恼和疲惫。例如：
张先生常被不期而至的手机短信和垃圾邮件搞得不胜其烦。
她在短短两周里收到37封录取通知书，随之而来的电话骚扰更让她一家不胜其烦。
不厌其烦
意思：形容耐心，不怕麻烦，强调的是面对繁琐事物时仍能保持耐心和细致的态度。
用法：通常用于形容某人有耐心，不嫌麻烦，能够持之以恒地做某件事情。例如：
他不厌其烦地一遍又一遍地解释这个问题，直到大家都明白为止。
她总是不厌其烦地帮助邻居解决各种困难。
总结：
不胜其烦表达的是一种消极的情绪，对繁琐事物感到厌烦和无法忍受。
不厌其烦则表达了一种积极的态度，面对繁琐事物能够保持耐心和细致。
建议在实际使用中根据具体的语境选择合适的成语，以准确表达内心的感受和态度。