开普勒第二定律，也称为面积定律，指出在相等的时间内，连接太阳与行星运动相等。具体来说，太阳系中太阳和运动中的行星的连线（矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。
推导过程
极坐标系下的表示
在极坐标系中，一个点的位置由距离原点的长度 \（ r \） 和与正x轴的夹角 \（ \theta \） 决定。
行星在极坐标系中的位置可以表示为 \（ \mathbf{r} = r \mathbf{e_r} \），其中 \（ \mathbf{e_r} \） 是单位径向向量。
面积元计算
在极坐标系中，面积元 \（ dA \） 可以表示为 \（ \frac{1}{2} r^2 \sin \theta \, d\theta \）。
时间间隔内的面积变化
假设在时间 \（ t \） 内，行星从位置 \（ \theta_1 \） 移动到位置 \（ \theta_2 \），则在这段时间内扫过的面积 \（ A \） 可以表示为：
\[
A = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{1}{2} r^2 \sin \theta \, d\theta
\]
角动量守恒
由于万有引力充当向心力，行星的角动量守恒。设行星的质量为 \（ m \），速度为 \（ v \），则角动量 \（ L \） 为：
\[
L = m v r \sin \theta
\]
在相等的时间 \（ \Delta t \） 内，角动量的变化为：
\[
\Delta L = m v \Delta r \sin \theta
\]
由于角动量守恒， \（ \Delta L = 0 \），所以：
\[
m v \Delta r \sin \theta = 0
\]
因为 \（ m
eq 0 \） 且 \（ \sin \theta
eq 0 \），所以 \（ v \Delta r = 0 \），即速度 \（ v \） 与距离 \（ r \） 成正比。
面积守恒
在相等的时间 \（ \Delta t \） 内，行星扫过的面积 \（ A \） 与 \（ r \） 和 \（ \theta \） 有关：
\[
A = \frac{1}{2} r^2 \sin \theta \, \Delta t
\]
由于 \（ v \） 与 \（ r \） 成正比，且在相等时间内扫过的面积相等，因此行星在椭圆轨道上的速度大小是不断变化的，在近日点速度最大，在远日点速度最小。
结论
开普勒第二定律表明，行星绕太阳公转的角动量守恒，并且行星在相等的时间内扫过相等的面积。这一定律揭示了行星运动的一个重要特性，即行星在椭圆轨道上的速度是不断变化的，且在近日点速度最大，在远日点速度最小。