arctan函数的导数可以通过多种方法求得，以下是几种常见的方法和结果：
直接求导法
令 $y = \arctan（x）$，则 $x = \tan（y）$。
对 $x = \tan（y）$ 两边关于 $x$ 求导，得到：
$$
\frac{dx}{dy} = \sec^2（y）
$$
由于 $\sec^2（y） = 1 + \tan^2（y） = 1 + x^2$，所以：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2（y）} = \frac{1}{1 + x^2}
$$
因此，arctan函数的导数为 $\frac{1}{1 + x^2}$。
反函数求导法
设原函数为 $y = f（x）$，其反函数为 $x = f^{-1}（y）$。
根据反函数求导公式，有：
$$
\left（ f^{-1}（y） \right）' = \frac{1}{f'（x）}
$$
对于 $y = \tan（x）$，其导数为 $\frac{d}{dx} \tan（x） = \sec^2（x） = 1 + \tan^2（x） = 1 + x^2$。
因此，反正切函数 $x = \arctan（y）$ 的导数为：
$$
\left（ \arctan（y） \right）' = \frac{1}{1 + y^2}
$$
由于 $y = x$，所以：
$$
\left（ \arctan（x） \right）' = \frac{1}{1 + x^2}
$$
综上所述，arctan函数的导数为 $\frac{1}{1 + x^2}$，这一结果通过多种方法得到了验证。