复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，具体规则如下：
加法
设 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$ 是任意两个复数，则它们的和为：
$$
z_1 + z_2 = （a + c） + （b + d）i
$$
加法满足交换律和结合律，即：
$$
z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \quad \text{和} \quad （z_1 + z_2） + z_3 = z_1 + （z_2 + z_3）
$$
减法
设 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$ 是任意两个复数，则它们的差为：
$$
z_1 - z_2 = （a - c） + （b - d）i
$$
乘法
设 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$ 是任意两个复数，则它们的积为：
$$
z_1 \cdot z_2 = （ac - bd） + （ad + bc）i
$$
乘法满足分配律，即：
$$
z_1 \cdot （z_2 + z_3） = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3
$$
除法
设 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$ 是任意两个复数（$c \neq 0$，$d \neq 0$），则它们的商为：
$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{（a + bi）（c - di）}{（c + di）（c - di）} = \frac{（ac + bd） + （bc - ad）i}{c^2 + d^2}
$$
示例
计算 $（3 + 4i） + （2 - 5i）$：
$$
（3 + 4i） + （2 - 5i） = （3 + 2） + （4 - 5）i = 5 - i
$$
计算 $（5 + 6i） - （3 + 4i）$：
$$
（5 + 6i） - （3 + 4i） = （5 - 3） + （6 - 4）i = 2 + 2i
$$
计算 $（2 + 3i）（4 + 5i）$：
$$
（2 + 3i）（4 + 5i） = 2 \cdot 4 + 2 \cdot 5i + 3i \cdot 4 + 3i \cdot 5i = 8 + 10i + 12i - 15 = -7 + 22i
$$
这些规则适用于所有复数的运算，并且可以通过这些基本运算进一步推导出更复杂的复数运算结果。