两角差的余弦公式推导如下：
向量法
取直角坐标系，作单位圆。
取点A，连接OA，与X轴的夹角为α。
取点B，连接OB，与X轴的夹角为β。
OA与OB的夹角即为α-β。
根据向量数量积的定义，有：
\[
\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos（\alpha - \beta）
\]
其中，\（ \vec{OA} = （\cos\alpha, \sin\alpha） \），\（ \vec{OB} = （\cos\beta, \sin\beta） \）。
因此：
\[
\cos（\alpha - \beta） = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta
\]
复数法
利用复数的乘法，有：
\[
（\cos\alpha + i \sin\alpha）（\cos\beta + i \sin\beta） = \cos（\alpha + \beta） + i \sin（\alpha + \beta）
\]
同时，利用复数的共轭性质：
\[
（\cos\alpha - i \sin\alpha）（\cos\beta - i \sin\beta） = \cos（\alpha - \beta） + i \sin（\alpha - \beta）
\]
比较实部，得到：
\[
\cos（\alpha - \beta） = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta
\]
几何法
在单位圆上，作角α和角β，使角α的终边交圆于点P1，角β的终边交圆于点P2。
作角-β，使角-β的终边交圆于点P4。
连接P1P4和P2P4，利用两点间距离公式，得到：
\[
|P1P4| = |P2P3|
\]
展开并整理，得到：
\[
\cos（\alpha - \beta） = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta
\]
这些方法都可以推导出两角差的余弦公式：
\[
\cos（\alpha - \beta） = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta
\]
这个公式在三角学和几何学中具有广泛的应用，是三角函数恒等变换的基础。