可以监控手机的部门包括 公安国安部门或公安机关。具体来说，公安机关在立案后，对于危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪、黑社会性质的组织犯罪、重大毒品犯罪或其他严重危害社会的犯罪案件，根据侦查犯罪的需要，经过严格的批准手续，可以采取技术侦查措施，这包括监控手机通话记录、短信、微信、位置等信息。技侦部门是公安机关内部专门负责技术侦查的部门，而网监部门则负责网络监控。
需要注意的是，监控手机需要遵循严格的法律程序，包括获得相关部门的批准，并且必须用于刑事案件的侦查。此外，任何个人或组织都无权私自监控他人的手机，否则将可能触犯法律。
综上所述，能够监控手机的部门是公安国安部门或公安机关，并且这一行为必须严格遵守法律规定。