三棱锥的外接球半径可以通过以下公式计算：
\[ R = \frac{\sqrt{3}a^2}{2\sqrt{3a^2 - b^2}} \]
其中：
\（ a \） 是三棱锥的侧棱长，
\（ b \） 是三棱锥底面的边长。
这个公式的推导基于将三棱锥放置在坐标系中，并利用几何关系求出球心位置和半径。具体步骤如下：
设定坐标系：
将三棱锥的顶点作为原点，底面中心为 \（ C \），并确定 \（ OC \） 的长度为外接球的半径 \（ r \）。
旋转三棱锥：
将三棱锥旋转，使底面对准坐标轴，此时 \（ OC \） 依然是外接球的半径，并且可以使用坐标轴上的点表示三棱锥的顶点位置。
计算底面外心：
如果将三棱锥的底面分成三角形，可以确定三角形的顶点坐标，并使用勾股定理求出三角形的斜边长度。
应用勾股定理：
将斜边长度代入勾股定理，求出 \（ r \） 的值。
对于正三棱锥，设底面边长为 \（ b \），侧棱长为 \（ a \），则外接球的球心位于三棱锥的高上，设高为 \（ AM \），连接 \（ DM \） 交 \（ BC \） 于 \（ E \），连接 \（ AE \），然后在面 \（ ADE \） 内作侧棱 \（ AD \） 的垂直平分线交三棱锥的高 \（ AM \） 于 \（ O \），则 \（ O \） 就是外接球的球心， \（ AO \） 和 \（ DO \） 是外接球的半径。
通过上述方法，可以求出三棱锥的外接球半径。