伴随矩阵的特征值与矩阵A的特征值之间存在密切的关系。如果矩阵A的特征值为λ，那么伴随矩阵A*的特征值为|A|/λ。这里的|A|表示矩阵A的行列式。这个结论可以通过以下步骤推导：
1. 假设存在非零向量α，使得Aα = λα，其中λ是A的特征值。
2. 对等式两边同时左乘A的伴随矩阵A*，得到A*Aα = λA*α。
3. 由于A*A = |A|E，其中E是单位矩阵，可以得到λA*α = |A|α。
4. 从上式可以解出A*α = （|A|/λ）α，这表明（|A|/λ）是A*的一个特征值，α是对应的特征向量。
这个结论对于矩阵A的所有特征值λ都成立，无论λ是零还是非零。特别地，如果λ = 0，那么A*的一个特征值也是0。如果矩阵A是可逆的，那么A*的所有特征值都是非零的，并且是|A|除以A的每个非零特征值。
在实际应用中，这些性质可以用来计算伴随矩阵的特征值，尤其是在解决线性方程组等问题时。例如，如果矩阵A的秩为n-1，那么A*的秩为1，这意味着A*有一个非零特征值和n-1个零特征值。如果矩阵A的秩小于n-1，那么A*是零矩阵，其所有特征值都是0。
综上所述，伴随矩阵的特征值可以通过矩阵A的特征值来计算，具体为|A|/λ，其中λ是A的特征值。这个关系在矩阵理论中非常重要，因为它揭示了矩阵的逆矩阵、伴随矩阵和特征值之间的联系。