手机监听是一种技术侦查手段，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百五十条，公安机关在立案后，对于特定类型的严重犯罪案件，如危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪、黑社会性质的组织犯罪、重大毒品犯罪或其他严重危害社会的犯罪案件，可以采取技术侦查措施，这可能包括监听手机。
具体实施手机监听的部门为公安机关，且必须经过严格的批准手续。监听技术的使用对象范围包括犯罪嫌疑人、被告人以及与犯罪活动直接关联的人员。对于除此之外的人员，手机通话监听是非法的。
总结来说， 公安机关是负责手机监听的部门，且必须遵循相关法律法规和严格的审批程序。