例1：一阶线性微分方程
求微分方程 $y' + P（x）y = Q（x）$ 的通解，其中 $P（x） = -2$，$Q（x） = e^x$。
解：
1. 根据一阶线性微分方程的通解公式：
\[ y = e^{-\int P（x） dx} \left（ \int Q（x） e^{\int P（x） dx} dx + C \right） \]
2. 代入 $P（x）$ 和 $Q（x）$ 的值：
\[ y = e^{\int -2 dx} \left（ \int e^x e^{-2x} dx + C \right） \]
\[ y = e^{-2x} \left（ \int \frac{1}{e} dx + C \right） \]
\[ y = e^{-2x} \left（ e^{-x} + C \right） \]
\[ y = 1 + C e^{-2x} \]
例2：可分离变量的微分方程
设 $u = x + a$，$v = y + b$，且 $a + b = -1$，$a - b = 3$，求 $v$ 关于 $u$ 的微分方程的通解。
解：
1. 由 $a + b = -1$ 和 $a - b = 3$，解得 $a = 1$，$b = -2$。
2. 因此，$u = x + 1$，$v = y - 2$。
3. 计算 $\frac{dv}{du}$：
\[ \frac{dv}{du} = \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dv}{du} \]
\[ \frac{dv}{du} - \frac{dv}{dx} = 1 \]
\[ \frac{dv}{du} （1 - \frac{dx}{du}） = 1 \]
\[ \frac{dv}{du} = \frac{1}{1 - \frac{dx}{du}} \]
4. 设 $w = \frac{v}{u}$，则 $v = uw$，$\frac{dv}{du} = w + u \frac{dw}{du}$。
5. 代入得：
\[ w + u \frac{dw}{du} = 1 \]
\[ \frac{dw}{1 - w} = \frac{dx}{1} \]
6. 两边积分：
\[ \int \frac{dw}{1 - w} = \int dx \]
\[ -\ln|1 - w| = x + C \]
\[ \ln|1 - w| = -x - C \]
\[ 1 - w = e^{-x - C} \]
\[ w = 1 - e^{-x - C} \]
7. 因此，$v = u（1 - e^{-x - C}） = （x + 1）（1 - e^{-x - C}）$。
例3：二阶齐次线性微分方程
求微分方程 $y'' = y'$ 的通解。
解：
1. 设 $y' = p$，则 $y'' = p'$。
2. 代入得：
\[ p' = p \]
\[ \frac{dp}{p} = dx \]
\[ \ln|p| = x + C_1 \]
\[ p = C_2 e^x \]
3. 由于 $p = y'$，积分得：
\[ y = C_2 e^x + C_3 \]
例4：满足初始条件的特解
求微分方程 $y'' - 2y' + y = 0$ 满足初始条件 $y（0） = 1$，$y'（0） = 2$ 的特解。
解：
1. 特征方程为 $\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0$，解得 $\lambda = 1$（重根）。
2. 因此，通解为：
\[ y = （C_1 + C_2 x） e^x \]
3. 代入初始条件：
\[ y（0） = C_1 e^0 = 1 \]
\[ C_1 = 1 \]
\[ y'（x） = C_2 e^x + （C_1 + C_2 x） e