正态分布的概率计算公式有两种主要形式，分别用于计算概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）。
概率密度函数（PDF）
公式：\[ f（x） = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{（x-\mu）^2}{2\sigma^2}} \]
其中：
\（ \mu \） 是正态分布的期望值（均值）。
\（ \sigma \） 是正态分布的标准差。
\（ \sigma^2 \） 是正态分布的方差。
该公式描述了随机变量 \（ X \） 取某个具体值 \（ x \） 的概率密度，即 \（ X \） 落在 \（ x \） 附近的小区间内的概率。
累积分布函数（CDF）
公式：\[ F（x） = \Phi\left（\frac{x-\mu}{\sigma}\right） \]
其中：
\（ \Phi（z） \） 是标准正态分布的累积分布函数，可以通过查标准正态分布表或使用统计软件获得。
\（ \mu \） 是正态分布的期望值（均值）。
\（ \sigma \） 是正态分布的标准差。
该公式描述了随机变量 \（ X \） 取值小于或等于 \（ x \） 的概率，即 \（ X \） 落在 \（ -\infty \） 到 \（ x \） 之间的区间内的概率。
应用场景
概率密度函数：用于计算随机变量在某个具体值附近的概率密度。
累积分布函数：用于计算随机变量取值小于或等于某个具体值的概率。
常用正态分布概率
99.74%：随机变量落在均值的三倍标准差之内。
95.45%：随机变量落在均值的两倍标准差之内。
68.27%：随机变量落在均值的一个标准差之内。
这些公式和概率值在统计学、金融、物理学等多个领域有广泛应用，是理解和分析正态分布的重要工具。