伴随矩阵的计算公式是：
\[ A^* = |A| A^{-1} \]
其中：
\（ A \） 是 \（ n \times n \） 的方阵。
\（ |A| \） 是矩阵 \（ A \） 的行列式。
\（ A^{-1} \） 是矩阵 \（ A \） 的逆矩阵。
这个公式表明伴随矩阵 \（ A^* \） 是由矩阵 \（ A \） 的行列式与 \（ A \） 的逆矩阵相乘得到的。
证明：
定义：
伴随矩阵 \（ A^* \） 是由 \（ A \） 的所有代数余子式构成的矩阵，并且满足 \（ AA^* = A^*A = |A|E \），其中 \（ E \） 是单位矩阵。
行列式关系：
根据行列式的性质，有 \（ |A^*| = |A|^{n-1} \）。这是因为 \（ A^* \） 的每个元素是 \（ A \） 的某个代数余子式，而代数余子式的行列式是原矩阵行列式的 \（ （n-1） \） 次方。
逆矩阵关系：
由于 \（ AA^* = |A|E \），我们可以得到 \（ A^* = |A| A^{-1} \）。这是因为如果 \（ A \） 是可逆的，那么两边同时左乘 \（ A^{-1} \） 可得 \（ A^*A = |A|E \），再右乘 \（ A^{-1} \） 可得 \（ AA^* = |A|E \）。
特殊情况：
当矩阵的阶数 \（ n = 1 \） 时，伴随矩阵 \（ A^* \） 为一阶单位方阵。
如果矩阵 \（ A \） 有一行或一列包含的元素全为零，则 \（ \det（A） = 0 \），从而 \（ A^* \） 也为零矩阵。
如果矩阵 \（ A \） 有两行或两列相等，则 \（ \det（A） = 0 \），从而 \（ A^* \） 也为零矩阵。
这些结论可以通过余子式展开加以证明。
总结：
伴随矩阵的计算公式是 \（ A^* = |A| A^{-1} \），并且伴随矩阵的行列式是原矩阵行列式的 \（ （n-1） \） 次方。这个公式在矩阵分析和线性代数中有着广泛的应用。