公民应履行的最根本的法律义务包括以下几点：
维护国家统一和各民族团结：
公民有责任维护国家的统一和各民族之间的团结，这是国家稳定和发展的基础。
遵守宪法和法律：
公民必须遵守国家的宪法和法律，保守国家秘密，爱护公共财产，遵守劳动纪律，遵守公共秩序，尊重社会公德。
维护祖国的安全、荣誉和利益：
公民有义务维护国家的安全、荣誉和利益，不得有危害祖国的安全、荣誉和利益的行为。
保卫祖国、依法服兵役和参加民兵组织：
公民有保卫祖国的义务，依法服兵役和参加民兵组织是公民的光荣义务。
依法纳税：
公民有依照法律纳税的义务，这是对国家和社会的贡献。
综上所述，公民履行最根本的法律义务是 遵守宪法和法律，因为这是其他所有法律义务的基础和前提。其他义务如维护国家统一、维护国家安全、服兵役和纳税等，都是基于这一根本义务派生出来的。